以前学概率论的时候，不知道后面的数理统计是什么，所以简称都把后面的省略掉了。现在接触的学科知识多了，慢慢就对数理统计有了直观印象。

尤其是第一次参加数模比赛的时候，各种统计方法，不知如何下手。不过利用像 Spss 这样的软件，只要把数据导进来，点点就能实现复杂统计处理。但是我还是心里发虚，因为不知道如何解释这些软件统计出来的结果。看着出来的各种 p 值，Sig. 等等，只会照猫画虎学网上说怎么怎么样。

扯远了，不过对这一章我还是很有学习欲望的，希望能顺利掌握考试所需要的知识点，同时也为以后打下一个统计学基础。

我们经常需要研究某类特定对象的某一特征，如全国的粮食产量、青少年的身高、体重等指标。所研究对象的某项指标的全体称为总体，记为 X X X ，其中构成总体的每个元素称为个体。

从本质上来说，总体即一个随机变量。

对于总体数量太多，如全国商品的价格波动、某个企业生产的所有照明灯的寿命，对每个个体进行研究会花费大量人力物力，所以我们往往只研究一定数量的具有代表性的个体的特征，来大致反映总体的特征。

从总体中随机抽取若干个个体构成的几何，称为总体的一个样本。

设总体为 X X X ，从总体 X X X 中取出含 n n n 个个体的样本（ X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​）， n n n 称为样本的容量，若样本（ X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​）满足：

称（ X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​）为来自总体 X X X 的简单随机样本。设 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1​,x2​,⋯,xn​ 为样本的一组抽样取值，称其为样本（ X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​）的一组观察值。

设 X X X 为总体，（ X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​）为来自总体 X X X 的简单随机样本，以样本（ X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​）为变量所构造的不含任何参数的函数称为统计量。其本质是随机变量。

如 ( X 1 + X 2 ) / 2 , X 1 2 + X 2 2 + X 3 2 (X_1+X_2)/2,X_1^2+X_2^2+X_3^2 (X1​+X2​)/2,X12​+X22​+X32​ 等等都不含参数，故都是统计量；以下为一些常见的统计量：

设 X X X 为总体，且 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X_1,X_2,\cdots,X_n) (X1​,X2​,⋯,Xn​) 为来自总体 X X X 的简单随机样本，且 E ( X ) = μ , D ( X ) = σ 2 E(X)=\mu,D(X)=\sigma^2 E(X)=μ,D(X)=σ2 ，则 E ( X ‾ ) = μ , D ( X ‾ ) = σ 2 n , E ( S 2 ) = σ 2 . E(\overline{X})=\mu,D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n},E(S^2)=\sigma^2. E(X)=μ,D(X)=nσ2​,E(S2)=σ2. 咱可以简单证明一下。

对 E ( X ‾ ) = μ E(\overline{X})=\mu E(X)=μ ，即样本均值的期望为总体的期望，证明如下： E ( X ‾ ) = 1 n ∑ i = 1 n E ( X i ) = n μ n = μ . E(\overline{X})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(X_i)=\frac{n\mu}{n}=\mu. E(X)=n1​i=1∑n​E(Xi​)=nnμ​=μ. 主要是利用了独立变量 E ( X 1 + X 2 + ⋯ + X n ) = E ( X 1 ) + ⋯ + E ( X n ) E(X_1+X_2+\cdots+X_n)=E(X_1)+\cdots+E(X_n) E(X1​+X2​+⋯+Xn​)=E(X1​)+⋯+E(Xn​) 。

对 D ( X ‾ ) = σ 2 n D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n} D(X)=nσ2​ ，即样本均值的方差为总体方差的均值，证明如下： D ( X ‾ ) = D ( 1 n ( X 1 + X 2 + ⋯ + X n ) ) = 1 n 2 ∑ i = 1 n D ( X i ) = n σ 2 n 2 = σ 2 n . D(\overline{X})=D(\frac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots+X_n))=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^nD(X_i)=\frac{n\sigma^2}{n^2}=\frac{\sigma^2}{n}. D(X)=D(n1​(X1​+X2​+⋯+Xn​))=n21​i=1∑n​D(Xi​)=n2nσ2​=nσ2​. 同样也只是利用独立变量方差加和的性质。

对 E ( S 2 ) = σ 2 E(S^2)=\sigma^2 E(S2)=σ2 ，即样本方差的期望为总体的方差，证明如下：

设 X X X 为总体，且 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X_1,X_2,\cdots,X_n) (X1​,X2​,⋯,Xn​) 为来自总体 X X X 的简单随机样本，将 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X_1,X_2,\cdots,X_n) (X1​,X2​,⋯,Xn​) 按照样本观察值大小进行排序，称为顺序统计量。

称 min ⁡ ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) \min{(X_1,X_2,\cdots,X_n)} min(X1​,X2​,⋯,Xn​) 为最小统计量， max ⁡ ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) \max{(X_1,X_2,\cdots,X_n)} max(X1​,X2​,⋯,Xn​) 为最大顺序统计量。

基本概念就到这里，下一篇我们来看看三个重要的抽样分布。